Operasi polinomial dan Teorema sisa

POLINOMIAL


•>Adalah suku banyak yang memiliki variabel,konstanta,pangkatnya bilangan cacah,operasi bilangan,dan koefisien.

•Contoh Polinomial
1.5x³-2x²+3x+7=0
2.4x²-x-2=0
3.5x+7=0


•Contoh bukan Polinomial
1.4x⅛+7x=0
2.5x²-4x⅓=0
3.½+x=0



                     OPERASI POLINOMIAL


1.Penjumlahan f(x)+g(x)

2.Pengurangan f(x)-g(x)

3.Perkalian f(x)•g(x)

4.Pembagian f(x):g(x)

•Contoh Soal:  - f(x)= 2x³+4x²+2x+5
                           -g(x)=4x⁴+2x³-10

Tentukan:• f(x)+g(x)
                    •f(x)-g(x)
                    •f(x)•g(x)

• f(x)+g(x)
(x³+4x²+2x+5)+(4x⁴+2x³-10)
=4x⁴+4x³+2x-5

•f(x)-g(x)
(x³+4x²+2x+5)-(4x⁴+2x³-10)
=-4x⁴+4x²+2x+15

•f(x)•g(x)
(x³+4x²+2x+5)•(4x⁴+2x³-10)
=(8x⁷+4x⁶-20x³)+(16x⁶+8x⁵-40x²)+(8x⁴+4x³-20x)+(20x⁴+10x³-50)
=8x⁷+4x⁶+16x⁶+ 8x⁵+8x⁴+20x⁴-20x³+4x³+10x³-40x²-20x-50
=8x⁷+20x⁶+8x⁵+28x⁴+14x³-40x²-20x-50



       MENENTUKAN NILAI POLINOMIAL

1.Subsitusi
2.Horner + Theorema

•Contoh:

f(x)=2x⁵+3x³-20x²+5x-100
x=2

1.Subsitusi

f(x)= 2x⁵+3x³-20x²+5x-100
f(2)=2(2)⁵+3(2)³-20(2)²+5(2)-100
       =2(32)+3(8)-20(4)+10-100
       =64+24-80-90
       =-82

2.Horner+Theorema

"keterangan:simpan angka pertama di bawah garis, lalu kali dengan pembagi,simpan hasil kali di bawah angka selanjutnya lalu jumlahkan,penjumlahan terus berulang hingga terdapat hasil"

               ALGORITMA PEMBAGIAN

f(x)=p(x)•h(x)+s(x)

*keterangan:•> f(x)= yang di bagi
                        •>p(x)= pembagi
                        •>h(x)= hasil bagi
                        •>s(x)= Sisa bagi

"Algoritma pembagian dapat di hitung dengan Cara bersusun,dan Horner"

•Contoh Soal:

f(x)=x³+2x-5 : x-2

1. Cara Bersusun

2.Cara Horner

•Pembuktian:
f(x)=p(x)•h(x)+s(x)
X³+2x-5=(x-2)•(x²+2x+6)+7
              =x³+2x²+6x-2x²-4x-12+7
              =x³+3x-5➾Terbukti



                            TEOREMA

1.TEOREMA SISA 1
    Jika suku banyak f(x):x-k maka sisanya adalah f(k).
•Contoh Soal:
f(x)=x⁴+3x³+2x²+x-5 : x-2

1.Cara Bersusun

2.Subtitusi
f(k)=x⁴+3x³-2x2+x-5
f(2)=2⁴+3(2)³-2(2)²-2+5
      =16+24-8-3
      =29


3.Cara Horner

2.TEOREMA SISA 2
  Jika f(x) : ax-b,maka akan bersisa f(b/a)

•Contoh soal:

f(x)=x⁴+3x³-2x²+x. : 2x-1


1.Cara Bersusun

2.Subtitusi
f(½)=x⁴+3x³-2x²+x+0
       =½⁴+3(½)³-2(½)²+½+0
       =1/16+3/8-½+½
       =1+6-8+8
               16
       =7/16


3. Cara Horner

3.TEOREMA SISA 3
   Jika suatu suku banyak f(x): (x-a)(x-b) maka sisanya adalah px+q dimana f(a)=pa+q dan f(b)=pb+q

•Contoh Soal:
f(x)=x⁴+3x³+2x²-5x+7. : x²-3x-10

Tentukan sisa pembagi!!

x²-3x-10= (x-5)(x+2)
                    ⇓.       ⇓
                 (x/a).(x/b)

*f(a)=pa+q.             *f(b)=pb+q
  f(x)=px+q.              f(x)=px+q
  f(5)=p(5)+q.           f(-2)=p(-2)+q
        =5p+q.                     =-2p+q

*f(5)=x⁴+3x³+2x²-5x+7
        =5⁴+3(5)³+2(5)2-5(5)+7
        =625+375+50-25+7
        =1032

*f(-2)=x⁴+3x³+2x²-5x+7
         =-2⁴+3(-2)³+2(-2)²-5(-2)+7
         =16-24+8+10+7
         =17

•Subtitusikan nilai pa+q dan pb+q

5p+q =1032
-2p+q=17. -
  7p.   =1015
    P.   =1015
               7
     P.   =145⇒-2p+q=17
                        -2(145)+q=17
                             -290+q=17
                                       q=17+290
                                        q=307

•Sisa pembagi=  px+q
                        (145)x+307
                            145x+307



                         TEOREMA FAKTOR

    Untuk setiapp  ∀ f(x)= P(x). h(x)+ s(x), Ǝs(x)=O

•Contoh Soal:
f(x)=x³-3x²-4x+12